Свойства определителя. Понижение порядка определителя. На втором уроке мы узнаем основные свойства определителя, а также научимся приёмам их эффективного вычисления. Если вы слабо ориентируетесь в теме, пожалуйста, начните с одной из древнейших статей сайта – Как вычислить определитель?
Она поможет не только чайникам, но даже тем, кто впервые услышал слово «определитель». Хотя чего тут представлять – нужно же =) Над ним можно сидеть 5 минут, а можно 2- 3 минуты. Или даже в районе одной минуты. Время, которое вы потратите, зависит не только от вашего опыта, но и от знаний свойств определителей. Не редкость, когда процесс решения вполне реально сократить до считанных секунд, а иногда и сразу увидеть результат! И не допустим оплошностей ; -) Но как быть с достаточно распространённым на практике определителем 4- го порядка? Воевать с этим перцем придётся уже 1.
И это будет даже не бой, а бойня, поскольку очень велика вероятность вычислительной ошибки, которая «завернёт» вас на второй круг решения. А если определитель пятого порядка? Спасёт только понижение порядка определителя. Да, такие примеры тоже встречаются в контрольных работах.
Используя этот онлайн калькулятор для вычисления определителя (детерминанта) матриц, вы сможете очень просто и быстро найти определитель . Определитель квадратной матрицы. Помогите, пожалуйста, найти ошибку в программе. Она должна считать определитель матрицы любого порядка (но я её ограничил 5-им, т.к. Посмотри эту программу, когда-то писал, вроде правильно считает.
Материалы данной страницы позволят значительно улучшить вашу технику решения определителей и упростят дальнейшее освоение высшей математики. Эффективные методы вычисления определителя. В первую очередь коснёмся не свойств определителя, а как раз методов его рационального вычисления. Эти приёмы решения лежат на поверхности и понятны многим, но всё- таки остановимся на них подробнее. Предполагается, что читатель уже умеет достаточно уверенно раскрывать определитель третьего порядка. Как известно, данный определитель можно раскрыть 6 стандартными способами: по любой строке или любому столбцу. Казалось бы, без разницы, ведь ответ получится один и тот же.
Недавно мы выложили у себя на блоге программу для ставок. С первым определителем вы тоже помогали. Учимся решать определители правильно и быстро! К тому же в вашем распоряжении есть калькулятор, который считает определители (в частности, .
Но все ли способы одинаково легк. И? В большинстве случаев есть менее выгодные пути и более выгодные пути решения. Рассмотрим определитель , который я обильно покрыл татуировками ещё на первом уроке. В той статье мы подробно, с картинками разложили его по первой строке.
Первая строка – это хорошо и академично, однако нельзя ли быстрее достичь результата? В определителе есть ноль, и, раскрывая его по второй строке либо по второму столбцу, вычислений заметно поубавится! Разложим определитель по второму столбцу: На практике нулевые элементы игнорируются, и запись решения принимает более компактный вид: Задание 1. Раскройте данный определитель по второй строке, используя укороченную запись. Решение в конце урока. Если в строке (либо столбце) два нуля, то это вообще настоящий подарок.
Рассмотрим определитель . Здесь два нуля в третьей строке, по ней и раскрываем: Вот и всё решение! Особый случай, когда определитель имеет так называемый ступенчатый или треугольный вид, например: – в таком определителе все числа, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю. Разложим его по первому столбцу: В практических заданиях удобно руководствоваться следующим правилом – ступенчатый определитель равен произведению чисел его главной диагонали: Аналогичный принцип справедлив и для ступенчатых определителей других порядков, например: Треугольные определители появляются в некоторых задачах линейной алгебры, и их решение чаще всего оформляют именно так. А если в строке (столбце) определителя находятся одни нули? Ответ, думаю, понятен. Мы ещё вернёмся к этому вопросу в свойствах определителя.
Теперь представим, что долгожданные баранки не положены в новогодний подарок. Так давайте же распотрошим нехорошего Санта- Клауса! Здесь нет нулей, но всё равно существует способ облегчить себе жизнь. Данный определитель оптимальнее разложить по третьему столбцу, поскольку там самые маленькие числа. При этом запись решения принимает весьма лаконичный вид: Резюмируя параграф, сформулируем золотое правило вычислений: Определитель выгоднее раскрывать по ТОЙ строке (столбцу), где: 1) нулей побольше; 2) числа поменьше.
Естественно, это справедливо и для определителей высших порядков. Небольшой пример для закрепления материала: Задание 2. Вычислить определитель, раскрыв его по строке либо столбцу, используя при этом наиболее рациональный способ. Это пример для самостоятельного решения, оптимальное решение и ответ – в конце урока. И ещё один важный совет: не комплексуйте!
Не нужно «зацикливаться» на традиционном разложении по первой строке либо первому столбцу. Как короче – так и решайте! Свойства определителя. Насчитывается порядка десяти свойств определителя (смотрите учебники, справочники), однако реальное прикладное значение имеют только некоторые из них. И сейчас я попытаюсь в подробной и доступной форме поделиться практическим опытом использования данных свойств. Рассмотрим старых знакомых первого урока: матрицу и её определитель . На всякий случай повторю элементарное различие между понятиями: матрица – это таблица элементов, аопределитель – это число.
При транспонировании матрицы величина её определителя не меняется. Транспонируем матрицу: Примечание: действие подробно разобрано на уроке Действия с матрицами. Согласно свойству, определитель транспонированной матрицы равен тому же значению: . Желающие могут убедиться в этом самостоятельно. В ходу и более простецкая формулировка данного свойства: если транспонировать определитель, то его величина не изменится. Запишем оба определителя рядышком и проанализируем один важный момент: В результате транспонирования первая строка стала первым столбцом, вторая строка – вторым столбцом, третья строка – третьим столбцом.
Из чего следует важный факт: строки и столбцы определителя равноправны. В действительности с этим мы уже давно столкнулись – ведь определитель можно раскрыть как по строке, так равноправно и по столбцу.
Не нравятся числа в строках? Транспонируйте определитель! Практический смысл рассмотренного свойства невелик, но его полезно закинуть в багаж знаний, чтобы лучше понимать другие задачи высшей математики. Например, сразу становится ясно, почему при исследовании векторов на компланарностьих координаты можно записать как в строки определителя, так и в столбцы. Если две строки (или два столбца) определителя поменять местами,то определитель сменит знак! Помните, речь идёт об определителе!
В самой матрице переставлять ничего нельзя! Сыграем в кубик- рубик с определителем . Поменяем первую и третью строку местами: Определитель сменил знак. Теперь в полученном определителе переставим вторую и третью строки: Определитель ещё раз изменил знак. Переставим второй и третий столбец: То есть, любая парная перестановка строк (столбцов) влечёт изменение знака определителя на противоположный.
Игры играми, но на практике такие действия лучше не использовать. Толку от них особого нет, а вот запутаться и допустить ошибку несложно. Однако приведу одну из немногих ситуаций, когда в этом действительно есть смысл. Предположим, что в ходе решения некоторого примера у вас нарисовался определитель со знаком «минус»: Раскроем его, скажем, по первой строке: Очевидное неудобство состоит в том, что пришлось выполнять лишние реверансы – ставить большие скобки, а затем их раскрывать (кстати, крайне не рекомендую выполнять подобные действия «за один присест» устно).
Чтобы избавиться от «минуса», рациональнее поменять местами любые две строки или любые два столбца. Переставим, например, первую и вторую строки: Теперь впереди помех нет, можно ехать дальше. Заядлых гонщиков ждёт кирпич: 2. Выглядит стильно, но в большинстве случаев с отрицательным знаком целесообразнее разбираться другим способом (читайте дальше). Рассмотренное действие опять же помогает лучше понять, например, некоторые свойства векторного произведения векторов или смешанного произведения векторов. А вот это уже более интересно: Из строки (столбца) определителя можно вынести общий множитель !!! В правиле речь идёт об ОДНОЙ строке или об ОДНОМ столбце определителя.
Пожалуйста, не путайте с матрицами, в матрице множитель выносится/вносится у ВСЕХ чисел сразу. Начнём с частного случая правила – вынесения «минус единицы» или просто «минуса».
Встречаем очередного пациента: . В данном определителе слишком много минусов и неплохо бы сократить их количество. Вынесем –1 из первой строки: Или короче: Минус перед определителем, как уже демонстрировалось – не есть удобно.
Смотрим на вторую строку определителя и замечаем, что минусов там тоже многовато. Вынесем «минус» из второй строки: Что можно сделать ещё? Все числа второго столбца делятся на 4 без остатка.
Вынесем 4 из второго столбца: Справедливо и обратное правило – множитель можно не только вынести, но и внести, причём, в ЛЮБУЮ строку или в ЛЮБОЙ столбец определителя. Ради шутки умножим на 4 третью строку определителя: Дотошные умы могут убедиться в равенстве исходного и полученного определителей (верный ответ: –2. На практике часто выполняют внесение минуса. Рассмотрим определитель . Отрицательный знак перед определителем можно внести в ЛЮБУЮ строку или в ЛЮБОЙ столбец. Самым лучшим кандидатом является третий столбец, в него и внесём минус: Также замечаем, что все числа первого столбца делятся на 2 без остатка, но ст.
Оит ли выносить «двойку»? Если вы собираетесь понижать порядок определителя (о чём пойдет речь в заключительном разделе), то, безусловно, ст. Оит. Но если раскрывать определитель по строке (столбцу), то «двойка» впереди только удлинит запись решения. Однако если множитель велик, например, 1.
Познакомимся с маленьким монстром: . Из первой строки вынесем –1. Вы скажете, вычисления и так быстро щёлкаются на обычном калькуляторе? Но, во- первых, его может не оказаться под рукой, а во- вторых, если дан определитель 3- го или 4- го порядка с большими числами, то и стучать по кнопкам уже не сильно захочется. Задание 3. Вычислить определитель с помощью вынесения множителей из строк и столбцов Это пример для самостоятельного решения. Ещё пара полезных правил: Если две строки (столбца) определителя пропорциональны (как частный случай – одинаковы), то данный определитель равен нулю. Здесь пропорциональны соответствующие элементы первой и второй строки: Иногда говорят, что строки определителя линейно зависимы.
В противном случае никакой фитнес не поможет. Но давайте без паники – навсегда отказываться от аппетитных «Биг- Маков» и изысканных эклеров не придется. Достаточно рассчитать свою дневную норму. А поможет в этом моя подборка Android- приложений.
Создатели программы в курсе, какие продукты. А для самых дотошных предусмотрен справочный раздел, в котором довольно убедительно описана методика подсчета. Принцип работы. приложения стандартный: вводим свои параметры и цели (похудение, удержание веса, набор веса), после чего получаем информацию о том, сколько калорий необходимо потреблять в течение дня. Можно. составить для себя дневник питания на каждый день.
Ну и самое интересное: если кроме средних показателей калорийности продуктов вас интересуют параметры конкретного товара того или иного. База продуктов, разумеется, не полная, зато ее нетрудно обновлять самостоятельно. Это не просто калькулятор, подсчитывающий. Приложение отслеживает прогресс в достижении поставленной цели, отображает результат в виде.
По словам разработчиков, в базе программы содержится более 3 млн различных продуктов. Интерфейс простой. От прочих калькуляторов калорий эту программу отличает. Пользователю предлагается старательно записывать потребляемые блюда, после чего приложение расскажет о составе и полезности всего съеденного.
Для. забывчивых предусмотрены уведомления и напоминания, которые не дадут вам схалтурить. Кстати, если некогда сделать запись сразу после еды, блюдо можно просто сфотографировать, чтобы не забыть. Кроме. калорий приложение позволяет учитывать объем выпитой жидкости и контролировать параметры вашего тела: объем груди, бедер, талии. Еще один приятный момент – система бонусов в виде жемчужинок.
Приложение узконаправленное – считает только калории без учета белков, жиров и. Значения сравниваются с оптимальными показателями для вашей фигуры. Интерфейс хорошо русифицирован, есть виджет для рабочего стола и возможность вести ежедневный календарь. Виджет. показывает лимит калорий на текущий день и количество, которое вы уже потребили.
Так что достаточно одного взгляда на дисплей смартфона, чтобы понять, есть ли смысл заходить сегодня в любимую. Если одних лишь калорий мало, можно приобрести платную версию «Калькулятор Калорий PLUS».
В ней дополнительно предусмотрен подсчет белков, жиров и углеводов.